Коллоквиум: векторы, прямые, эллипс и гипербола

Направленные отрезки \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) называются эквиполлентными, если они сонаправлены и имеют равные длины.

Свободный вектор — множество всех направленных отрезков, эквиполлентных данному.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому.

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Суммой векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) называется вектор, идущий из начала \(\vec a\) в конец \(\vec b\), если \(\vec b\) отложен от конца \(\vec a\).

Правило треугольника: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

Правило параллелограмма: откладываем \(\vec a\) и \(\vec b\) из одной точки, достраиваем параллелограмм; сумма — его диагональ из этой точки.

Произведение \(\vec a\) на число \(\lambda\) — вектор \(\lambda\vec a\), у которого \(|\lambda\vec a|=|\lambda|\,|\vec a|\); при \(\lambda\gt 0\) он сонаправлен с \(\vec a\), при \(\lambda\lt 0\) — направлен противоположно (при \(\lambda=0\) — нулевой).

Свойства:

1. \(\lambda(\mu\vec a)=(\lambda\mu)\vec a\)
2. \((\lambda+\mu)\vec a=\lambda\vec a+\mu\vec a\)
3. \(\lambda(\vec a+\vec b)=\lambda\vec a+\lambda\vec b\)
4. \(1\cdot\vec a=\vec a\)

1. \(\vec a+\vec b=\vec b+\vec a\) (коммутативность)
2. \((\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)\) (ассоциативность)
3. \(\vec a+\vec 0=\vec a\)
4. \(\vec a+(-\vec a)=\vec 0\)

Линейной комбинацией векторов \(\vec a_1,\dots,\vec a_n\) называется вектор \(\lambda_1\vec a_1+\lambda_2\vec a_2+\dots+\lambda_n\vec a_n\), где \(\lambda_i\) — числа.

Система \(\vec a_1,\dots,\vec a_n\) линейно зависима, если существуют числа \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\), не все равные нулю, такие что \(\lambda_1\vec a_1+\dots+\lambda_n\vec a_n=\vec 0\).

Система \(\vec a_1,\dots,\vec a_n\) линейно независима, если \(\lambda_1\vec a_1+\dots+\lambda_n\vec a_n=\vec 0\) только при \(\lambda_1=\dots=\lambda_n=0\).

1. Линейно независимая система не содержит нулевого вектора.
2. Любая часть (подсистема) линейно независимой системы тоже линейно независима.
3. Ни один вектор системы не выражается через остальные (а система линейно зависима ⇔ хотя бы один выражается).

Если \(\vec a\ne\vec 0\), то \(\vec b\) коллинеарен \(\vec a\) ⇔ существует единственное число \(\lambda\), такое что \(\vec b=\lambda\vec a\).

Если \(\vec a\) и \(\vec b\) неколлинеарны, то \(\vec c\) компланарен с ними ⇔ существуют единственные числа \(\alpha,\beta\): \(\vec c=\alpha\vec a+\beta\vec b\).

Два вектора линейно зависимы ⇔ они коллинеарны. Любые три вектора на плоскости линейно зависимы.

Три вектора линейно зависимы ⇔ они компланарны. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Базис пространства — упорядоченная тройка некомпланарных векторов \((\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3)\).

Ортогональный базис — базис, векторы которого попарно перпендикулярны.

Базис пространства — упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Ортонормированный базис — базис, векторы которого попарно перпендикулярны и имеют длину 1. Обозначают \(\vec i,\vec j,\vec k\).

Если \(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3\) некомпланарны, то любой вектор \(\vec a\) единственным образом раскладывается по ним: \[\vec a=x\vec e_1+y\vec e_2+z\vec e_3.\] Числа \(x,y,z\) — координаты \(\vec a\) в этом базисе.

В списке написано «по трём неколлинеарным», но правильно — некомпланарным: три неколлинеарные стрелки могут лежать в одной плоскости.

\[(\vec a,\vec b)=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi\]

Свойства:

1. \((\vec a,\vec b)=(\vec b,\vec a)\)
2. \((\lambda\vec a,\vec b)=\lambda(\vec a,\vec b)\)
3. \((\vec a+\vec b,\vec c)=(\vec a,\vec c)+(\vec b,\vec c)\)
4. \((\vec a,\vec a)\ge 0\), и \(=0\) только для \(\vec 0\)

В ортонормированном базисе: \((\vec a,\vec b)=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\).

Векторное произведение \([\vec a,\vec b]\) — вектор \(\vec c\), для которого:

1. \(|\vec c|=|\vec a|\,|\vec b|\sin\varphi\);
2. \(\vec c\perp\vec a\) и \(\vec c\perp\vec b\);
3. тройка \(\vec a,\vec b,\vec c\) — правая.

Свойства: \([\vec a,\vec b]=-[\vec b,\vec a]\); \([\lambda\vec a,\vec b]=\lambda[\vec a,\vec b]\); \([\vec a+\vec b,\vec c]=[\vec a,\vec c]+[\vec b,\vec c]\); \([\vec a,\vec b]=\vec 0\) ⇔ \(\vec a\parallel\vec b\).

В координатах: \([\vec a,\vec b]=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2\end{vmatrix}\).

\[(\vec a,\vec b,\vec c)=([\vec a,\vec b],\vec c)\]

Свойства:

1. \((\vec a,\vec b,\vec c)=0\) ⇔ векторы компланарны;
2. \(\gt 0\), если тройка правая, \(\lt 0\) — если левая;
3. по кругу переставлять можно: \((\vec a,\vec b,\vec c)=(\vec b,\vec c,\vec a)=(\vec c,\vec a,\vec b)\);
4. поменять два местами — сменить знак.

В координатах: определитель из координат трёх векторов \(\begin{vmatrix}x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2\\ x_3 & y_3 & z_3\end{vmatrix}\).

• Скалярное: \((\vec a,\vec b)=|\vec a|\cdot\text{пр}_{\vec a}\vec b\) — длина одного вектора на проекцию другого.
• Векторное: \(|[\vec a,\vec b]|\) = площадь параллелограмма на \(\vec a,\vec b\). Площадь треугольника = половина.
• Смешанное: \(|(\vec a,\vec b,\vec c)|\) = объём параллелепипеда на \(\vec a,\vec b,\vec c\). Объём тетраэдра = \(\tfrac16\) от него.

Угол между векторами — угол \(\varphi\in[0,\pi]\) между ними, отложенными от одной точки. \[\cos\varphi=\frac{(\vec a,\vec b)}{|\vec a|\,|\vec b|}\]

Ортогональность в ОНБ: \(\vec a\perp\vec b\iff x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0\).

Скалярный квадрат: \(\vec a^{\,2}=(\vec a,\vec a)=|\vec a|^2\).

Длина вектора — длина любого представляющего его отрезка: \(|\vec a|=\sqrt{(\vec a,\vec a)}\).

В ортонормированном базисе: \(|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\).

Радиус-вектор точки \(M\) — вектор \(\overrightarrow{OM}\), где \(O\) — начало координат.

Аффинная СК — точка \(O\) (начало координат) и базис \((\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3)\).

ПДСК — аффинная СК с ортонормированным базисом.

Полярная СК — точка \(O\) (полюс) и луч из неё (полярная ось). Точка задаётся числами \(\rho=|OM|\) и \(\varphi\) — углом от оси до \(OM\) против часовой стрелки. Связь: \(x=\rho\cos\varphi,\ y=\rho\sin\varphi\).

Перенос начала в точку \(O'(x_0,y_0)\): \(x=x'+x_0,\quad y=y'+y_0\).

Поворот осей на угол \(\varphi\): \[x=x'\cos\varphi-y'\sin\varphi,\qquad y=x'\sin\varphi+y'\cos\varphi.\]

Поворот + перенос: к формулам поворота прибавить \(x_0\) и \(y_0\).

Точка \(M\) делит отрезок \(M_1M_2\) в отношении \(\lambda\), если \(\overrightarrow{M_1M}=\lambda\overrightarrow{MM_2}\) (\(\lambda\ne-1\)). Тогда в аффинной СК: \[x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\quad y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda},\quad z=\frac{z_1+\lambda z_2}{1+\lambda}.\]

Нормальный вектор прямой — любой ненулевой вектор, перпендикулярный прямой.

Прямая через \(M_0(x_0,y_0)\) с нормалью \(\vec n=(A,B)\): \[A(x-x_0)+B(y-y_0)=0.\]

Направляющий вектор прямой — любой ненулевой вектор, параллельный прямой.

Прямая через \(M_0(x_0,y_0)\) с направляющим \(\vec a=(l,m)\): \[\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}\] или параметрически: \(x=x_0+lt,\ y=y_0+mt\).

Общее уравнение: \(Ax+By+C=0\), где \(A\) и \(B\) не равны нулю одновременно. Вектор \((A,B)\) — нормаль.

Прямая делит плоскость на две полуплоскости: в одной \(Ax+By+C\gt 0\) (туда смотрит нормаль), в другой \(\lt 0\), на прямой \(=0\).

Угловой коэффициент — тангенс угла наклона прямой к оси \(Ox\): \(k=\operatorname{tg}\alpha\).

Уравнение: \(y=kx+b\).

В отрезках: \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\), где \(a\) и \(b\) — точки пересечения с осями \(Ox\) и \(Oy\).

Через две точки \(M_1(x_1,y_1)\), \(M_2(x_2,y_2)\): \[\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}.\]

Направленный угол от \(l_1\) до \(l_2\) — угол \(\varphi\in[0,\pi)\), на который нужно повернуть \(l_1\) против часовой стрелки, чтобы она стала параллельна \(l_2\) (или совпала с ней).

\(\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\)

Прямые \(A_1x+B_1y+C_1=0\) и \(A_2x+B_2y+C_2=0\) пересекаются ⇔ \(\dfrac{A_1}{A_2}\ne\dfrac{B_1}{B_2}\) (т.е. \(A_1B_2-A_2B_1\ne0\)). Для \(y=kx+b\): \(k_1\ne k_2\).

Прямые параллельны (не совпадают) ⇔ \(\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}\ne\dfrac{C_1}{C_2}\). Для \(y=kx+b\): \(k_1=k_2,\ b_1\ne b_2\).

Прямые совпадают ⇔ \(\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}=\dfrac{C_1}{C_2}\). Для \(y=kx+b\): \(k_1=k_2,\ b_1=b_2\).

Для \(Ax+By+C_1=0\) и \(Ax+By+C_2=0\): \[d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}.\]

\(A\) и \(B\) в обоих уравнениях должны быть одинаковыми. Если нет — сначала домножь одно уравнение.

От \(M_0(x_0,y_0)\) до \(Ax+By+C=0\): \[d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.\]

\[\operatorname{tg}\varphi=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|\]

Перпендикулярны ⇔ \(k_1k_2=-1\).

Для \(\vec n_1=(A_1,B_1)\), \(\vec n_2=(A_2,B_2)\): \[\cos\varphi=\frac{|A_1A_2+B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}\,\sqrt{A_2^2+B_2^2}}.\]

Перпендикулярны ⇔ \(A_1A_2+B_1B_2=0\).

Эллипс — множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) постоянна и равна \(2a\) (\(2a\) больше расстояния между фокусами).

Каноническое: \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\), где \(b^2=a^2-c^2\).

Параметрическое: \(x=a\cos t,\ y=b\sin t\).

Эллипс — множество точек, сумма расстояний от которых до двух фокусов постоянна и равна \(2a\).

Вершины: \((\pm a,0)\) и \((0,\pm b)\).

Директрисы: \(x=\pm\dfrac{a}{\varepsilon}\), где \(\varepsilon=\dfrac{c}{a}\) — эксцентриситет (\(\varepsilon\lt 1\)).

Гипербола — множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фокусов постоянен и равен \(2a\) (\(2a\) меньше расстояния между фокусами).

Каноническое: \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\), где \(b^2=c^2-a^2\).

Параметрическое: \(x=a\operatorname{ch}t,\ y=b\operatorname{sh}t\) (правая ветвь) или \(x=\dfrac{a}{\cos t},\ y=b\operatorname{tg}t\).

Гипербола — множество точек, модуль разности расстояний от которых до двух фокусов постоянен и равен \(2a\).

Вершины: \((\pm a,0)\).

Асимптоты: \(y=\pm\dfrac{b}{a}x\).